Математика общей теории относительности №4— Метрический тензор

Метрический тензор (метрика) — симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии. Посредством метрического тензора задаётся скалярное произведение векторов в касательном пространстве. Иначе говоря, метрический тензор задаёт билинейную форму на касательном пространстве к точке, обладающую свойствами скалярного произведения и гладко зависящую от точки. Метрический тензор позволяет определить длины кривых, углы между кривыми, объём и другие понятия, свойственные евклидову пространству. В частном случае поверхности метрика также называется первой квадратичной формой. Свойства Некоторые виды метрических тензоров: -Риманов (или риманова метрика) — квадратичная форма положительно определена. Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым, они имеют естественную структуру метрического пространства. -Псевдориманов (или индефинитная метрика) — форма не является знакоопределённой. Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется псевдоримановым. К этому классу относится метрика Лоренца. -Вырожденные метрики — det(gij) = 0 либо det(g^{ij}) = 0 в некоторых точках. Многообразие, метрика которого является вырожденной в любой точке, называется изотропным (например, световой конус в пространстве Минковского). Виды Термин «метрический тензор» используется в различных областях, например: Общая теория относительности — метрика рассматривается в качестве фундаментального физического поля (гравитационного) на четырёхмерном многообразии физического пространства-времени. Описание сплошной среды и формулировка теории поля в криволинейных координатах. Биметрические теории гравитации — на пространстве-времени рассматривают сразу две метрики. Важно: не следует путать термин с метрическим пространством — множеством, в котором определено расстояние между любой парой элементов.